Juan Llago nació en el seno de una familia que vivía con pasión el fútbol en una época en la que escaseaba la afición por este deporte. Sus dos hermanos, Joaquín y José, también fueron futbolistas que destacaron en el fútbol regional, y el segundo de ellos jugó también como extremo e interior izquierdo en el Valencia FC. Llago era un portero valiente, que no se arrugaba en las salidas ni en los balones aéreos, lo que le dotaba de un importante halo de liderazgo en el área.

Le llegó su gran oportunidad en un partido del Campeonato Regional contra el Levante, el 23 de diciembre 1923, en el que debutó con sólo 19 años. Pero, pese a su juventud, Juan demostró en ese partido una entereza y experiencia impropias de su edad. En enero de 1924 se graduó con honores en un partidazo contra el Sestao, en el que se ganó el apodo de «Resorte Humano» y que le permitió convertirse en el portero titular desde 1924 hasta 1926.

Su magnífico rendimiento le convirtió en el favorito de los aficionados, aunque también tuvo su infierno particular en un partido de Copa contra el Barcelona en marzo de 1925, tras una aterradora derrota por 7-3 en Les Corts. La prensa valenciana asumió la derrota, pero La Correspondencia de Valencia cargó contra el portero, al que acusó de dejarse impresionar por el ambiente debido a su juventud (21 años) y ser uno de los culpables de tan mal resultado. Pese a ello, aún aguantó otra temporada más en buena forma. Se marchó del Valencia en el verano de 1926, cuando todavía contaba con 22 años. Tras la baja, siguió su carrera hasta bien entrados los treinta, jugando, entre otros, en el Gimnástico y el Sporting de Canet.