Portero vizcaíno nacido en la localidad de Elorrio, Enrique Basauri inició su andadura en el mundo futbolístico en la cantera del Athletic Club de Bilbao, llegando hasta la categoría juvenil. Tuvo un breve paso por el Erandio antes de que la secretaría técnica del Valencia CF lo firmara para reforzar al Mestalla al cumplir la mayoría de edad. Debutó en Segunda División bajo las órdenes de Manolo Mestre en Vallecas y fue titular hasta el final de la temporada, no pudiendo evitar, sin embarto, el descenso del equipo filial. Continuó forjándose en el Mestalla hasta que el propio Mestre, ya como entrenador del primer equipo, tras sustituir al cesado Milosevic, le ascendió a la primera plantilla, debutando en Primera División en la cuarta jornada de Liga, el 27 de septiembre de 1975 en la victoria por 2-4 en Las Palmas.

Basauri tenía una planta impresionante y en las salidas era como un vendaval, llegando a ser conocido como «Mazinger-Z», un famoso personaje de dibujos animados de la época, por sus espectaculares despejes de puños. Su alta talla le hacía algo vulnerable en los ángulos inferiores, pero su personalidad bajo los palos le permitió consolidarse en un titubeante inicio de temporada pese a contar con una defensa más bien descentrada. Siendo ya titular indiscutible, una desafortunada lesión le hizo perder el puesto en favor de Pep Balaguer, y tras recuperarse no le fue posible volver a los onces iniciales con asiduidad. Acabó jugando 15 partidos como titular (12 de Liga, 1 de Copa y 2 amistosos) en los que encajó 15 goles. Habría sido un suplente eficaz, pero la llegada de Heriberto Herrera y el imparable ascenso de Balaguer y Pereira le devolvieron al Mestalla, donde permaneció una temporada más antes de fichar por el Deportivo Alavés en el verano de 1976.

Fue titular indiscutible y uno de los líderes de la plantilla vitoriana durante tres temporadas, en las que participó en un total de 101 partidos y recibió 91 tantos, hasta que en 1980 José Alzate se lo llevó a Osasuna, club en el que conseguiría asentarse en la máxima categoría, convirtiéndose en el portero más usado en las temporadas del regreso a Primera División, completando un total de 67 encuentros oficiales en los que encajó 95 goles. Finalizado su contrato con el conjunto pamplonica y cumplida ya la treintena, Basauri fichó por el Castellón, donde competiría por un puesto en el once inicial con Silvestre González, encajando un total 19 goles en 17 partidos en la categoría de plata, 16 de Liga y 1 de la Copa de la Liga. En julio de 1986 fichó por el Gandía, club con el que disputó 47 partidos en Segunda B en los que encajó 55 tantos. En el verano de 1988 marchó al Villarreal, donde disputó 7 partidos antes de marchar al Nules, club en el que finalizó su carrera deportiva.

Una vez colgadas las botas, Basauri se afincó en Valencia y pasó a dedicarse a la enseñanza deportiva hasta que en 1994 recaló en el cuerpo técnico del Villarreal CF como preparador de porteros.